В Корее реально просто поймать такси рукой на улице и заплатить наличными по счётчику? Или без приложения лучше не садиться?

Да, свободное обычное такси можно остановить на улице или взять на официальной стоянке, а наличные воны обычно принимаются. Убедитесь, что включён счётчик, и покажите адрес на корейском в Naver/Kakao Map. Ночью и в популярных районах надёжнее использовать официальное приложение или стоянку: так проще контролировать маршрут и тип машины.