При въезде в Южную Корею сейчас правда не ставят штамп в паспорт? А чем тогда подтверждается дата въезда?

В Корее штамп в паспорт часто не ставят при обычном прохождении иммиграции, поскольку данные въезда фиксируются электронно. При необходимости подтверждение истории въездов можно получать через официальные корейские сервисы/иммиграцию в предусмотренном порядке. Не переживайте, если после контроля в паспорте нет нового штампа — это само по себе не означает, что въезд не оформлен.